説明

前処理は、反復法で線形連立方程式を解く際に収束を早めるため、元の連立\[A x = b\]を別の連立\[M^{-1} A x = M^{-1} b\]に変換する操作である。\(M\)は前処理行列で、\(M^{-1} A\)の条件数が\(A\)より小さくなるよう選ばれる（理想的には\(M \approx A\)の近似）。典型的な前処理として、不完全 LU 分解 (ILU) や不完全 Cholesky (IC) 分解、対角スケーリング、マルチグリッドベースの前処理などが用いられる。例えば ILU(0) は、\(A\)を同じパターンの下三角\(L\)と上三角\(U\)に分解しつつ、fill-in（新たな要素生成）を許さずに近似するものである。前処理の適用により、共役勾配や GMRES の収束が桁違いに改善され、CFD の大規模連立解法には欠かせない技術となっている。